Le domaine Calcul mental

En une phrase : non pas si l'enfant trouve le bon résultat, mais comment il le trouve.

« Calculer, c'est mettre en relation des quantités, directement à partir de leurs représentations numériques, sans passer par la réalisation physique de dénombrement de collections. » (Brissiaud, Comment les enfants apprennent à calculer, éd. Retz)

Les opérations de calcul mental présentées dans ce test couvrent la matière jusqu'à la fin de la 3^ème primaire (additions et soustractions de nombres naturels jusque 10 000). En cas d'échec aux opérations abstraites, le logiciel propose, par ordre décroissant de difficulté, des opérations semi-concrètes, concrètes et protonumériques.

Important : à partir du moment où le test propose des additions et soustractions avec passage de classe portant sur des nombres supérieurs à 30, la réponse est considérée comme fausse si l'algorithme utilisé n'est pas correct — le surcomptage ou le décomptage n'est plus admis à ce stade. Un message le rappelle lorsque ce type de question est posé.

De même, les opérations de type dizaine-unité + dizaine-unité ne sont considérées comme réussies que si l'enfant les résout effectivement par des procédés de calcul mental — les procédés de calcul écrit, même utilisés mentalement, ne sont pas admis. Par ex., pour « 25+33 », si l'enfant calcule d'abord 2+3 (en retenant 5) puis 5+3, le résultat est considéré comme faux même si la réponse finale est exacte.

La situation est moins facile à évaluer si, pour cette même opération, l'enfant additionne d'abord les unités (et retient 8 en mémoire) puis additionne 2 et 3 : il faut alors tenter de savoir si l'enfant a bien conscience d'ajouter des dizaines (la question ne se pose pas s'il dit « 20+30 »). Ces observations ne signifient pas que l'on « joue avec les mots » : rappelons que ce qui est visé, ce sont les compétences de l'enfant en numération et calcul mental, et non à la performance en tant que telle.

Ce que ce domaine cherche vraiment

C'est ici que MathEval s'écarte le plus d'un test de niveau. Deux enfants peuvent donner la même réponse juste à « 8 + 4 » : l'un parce qu'il le sait, l'autre en repartant de 1 sur ses doigts. Ce sont deux situations sans rapport, et la réponse seule ne les distingue pas. Le test demande donc à l'examinateur, à chaque opération, d'identifier la procédure — et c'est cette procédure, autant que le résultat, qui est notée.

C'est aussi la raison des règles inhabituelles de l'encadré ci-dessus : à partir d'un certain niveau, une réponse exacte obtenue par surcomptage est comptée fausse. Non par sévérité, mais parce que la question posée n'est plus « sait-il combien ça fait ? » mais « dispose-t-il d'une procédure qui tiendra la suite ? ». Un enfant qui surcompte à 25 + 33 est dans une impasse, quel que soit son résultat.

Identifier la stratégie de l'enfant

Les stratégies de calcul mental utilisées par l'enfant sont relativement variées ; elles deviennent de plus en plus efficaces (à la fois rapides et correctes) avec le développement. Lorsque les premières opérations arithmétiques sont proposées, le testeur est amené à identifier la stratégie mise en place par l'enfant.

« Réponse rapide » — il s'agit de ce que l'on nomme communément un « fait numérique » ; l'enfant connaît la réponse sans qu'il lui soit nécessaire de calculer quoi que ce soit.

« Surcomptage » (counting on) — l'enfant garde en tête le premier nombre et continue (mentalement, avec l'aide des doigts, en l'exprimant oralement ou non) la comptine autant de fois que nécessaire. Par ex., pour calculer « 8+4 », l'enfant « part » de 8 et continue par 9, 10, 11, 12 (en levant 4 doigts, par ex.).

Remarque importante ! Si, pour l'opération précédente, l'enfant part de 8 (sans devoir compter 1, 2, 3, …, 8) mais dit ensuite 1, 2, 3, 4, il ne s'agit pas de surcomptage. Dans ce cas, il faut enregistrer la réponse comme s'il s'agissait de recomptage du tout : l'enfant juxtapose en fait deux collections, celle de 8 et celle de 4.

« Recomptage du tout » (counting all) — cette technique consiste à juxtaposer les deux collections, en les comptant séparément dans un premier temps, puis en recomptant le tout ensuite. Pour calculer « 2+6 », par ex., l'enfant dit ou « fait » 1, 2 // 1, 2, 3, 4, 5, 6 // 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Les trois épreuves

Les additions

Elles sont proposées à quatre niveaux de représentation. L'enfant commence au niveau abstrait — l'opération seule ; en cas d'échec, le test redescend d'un cran vers le semi-concret, puis le concret, puis le protonumérique, où il ne s'agit plus que de comparer deux collections.

Pourquoi cette épreuve, et pourquoi cette cascade. Un échec en calcul abstrait ne dit pas où se situe la difficulté. La cascade la localise : l'enfant qui réussit dès qu'on lui montre des objets sait opérer mais pas encore sur des symboles ; celui qui échoue jusqu'au niveau protonumérique n'a pas construit la quantité elle-même. Ce ne sont pas les mêmes enfants, et ce ne sont pas les mêmes suites à donner.

Dans le suivi longitudinal, les additions passées en maternelle annoncent le niveau de calcul mental deux ans plus tard à r = ,49.

Les soustractions

Même principe et mêmes niveaux de repli, sur des soustractions de difficulté croissante.

Pourquoi une épreuve distincte. La soustraction n'est pas l'addition à l'envers. Elle demande de parcourir la chaîne numérique en arrière — d'où le lien direct avec l'épreuve de comptage à rebours — et elle admet plusieurs procédures qui ne se valent pas : retirer un à un, décompter, ou compléter. Un enfant peut être solide en addition et démuni en soustraction, et le test le montre plutôt que de le supposer.

Les compléments à dix — posés ici, décrits ailleurs

« Combien faut-il ajouter à 7 pour arriver à 10 ? ». Ces questions sont posées après les additions et les soustractions, donc au cours de ce sous-test — mais elles ne relèvent pas du calcul mental : l'enfant n'y opère pas sur deux quantités, il restitue une décomposition de dix. Elles sont décrites avec la numération décimale.

Organigrammes des questions posées

Les organigrammes de ce domaine sont rassemblés sur une seule page, avec ceux de toutes les autres épreuves : les six organigrammes du calcul mental. La même page explique comment les lire.