Le sous-test Calcul mental

En une phrase : la façon dont l'enfant trouve le résultat nous intéresse au moins autant que la réponse elle-même.

Les épreuves

Le sous-test couvre les additions et les soustractions de nombres naturels. Les opérations se répartissent en quatre paliers : jusque 5, jusque 20, puis les nombres de 2 chiffres et enfin ceux de 3 et 4 chiffres.

Épreuve	Ce qui est demandé
1. Additions	Une addition est d'abord posée sous forme abstraite. En cas d'échec, elle est reposée sous une forme de plus en plus concrète : semi-concrète, concrète, et enfin protonumérique
2. Soustractions	Même démarche que pour les additions, sans le niveau protonumérique
3. Compléments à dix	Trouver le complément d'un nombre à 10, par exemple : « Combien faut-il ajouter à 7 pour arriver à 10 ? » Ces questions sont posées à la suite du calcul mental, mais n'en relèvent pas à proprement parler : le rapport les décrit avec la numération décimale

Les niveaux de représentation

Les additions et les soustractions sont d'abord proposées sous forme abstraite. En cas d'échec, le test propose des opérations de plus en plus concrètes :

1. Abstrait : l'opération est proposée verbalement et l'enfant ne dispose d'aucun support, excepté, s'il le souhaite, de ses doigts ;
2. Semi-concret : l'opération est suggérée à l'enfant au moyen d'un matériel qu'il doit imaginer, par exemple « Suppose qu'il y a 2 bonbons dans une boîte. Si on ajoute 1 bonbon, combien cela fait-il en tout ? » Rien n'est montré ;
3. Concret : l'ajout ou le retrait se déroule sous les yeux de l'enfant ;
4. Protonumérique (additions seulement) : l'ajout se déroule sous les yeux de l'enfant, qui doit indiquer si le résultat annoncé est correct ou non.

Cotation des réponses

La cotation des réponses varie selon la procédure de calcul utilisée par l'enfant. Les procédures distinguées sont les suivantes :

• la réponse immédiate (ou fait numérique) : l'enfant connaît la réponse sans avoir à calculer ;
• le surcomptage : l'enfant garde en tête un nombre et continue la comptine à partir de celui-ci. Pour 4 + 8, s'il part de 4 (le plus petit nombre) et dit 5, 6, 7… jusqu'à 12, il surcompte à partir du plus petit nombre ; s'il part de 8 (le plus grand) et dit 9, 10, 11, 12, il surcompte à partir du plus grand nombre. Cette dernière stratégie est supérieure à la précédente. Ce procédé suppose de savoir compter à partir d'une borne inférieure (voir la chaîne numérique). Pour une soustraction, l'enfant part du nombre à retirer et avance jusqu'au premier nombre : pour 5 − 3, il dit 4, 5 ;
• le décomptage (soustractions) : l'enfant part du premier nombre et recule d'autant de pas que le nombre à retirer. Pour 5 − 3, il dit 4, 3, 2 ;
• le recomptage du tout : l'enfant compte séparément les deux collections, généralement en levant des doigts, puis recompte l'ensemble. Pour 2 + 6, il compte 1, 2 en levant 2 doigts, puis 1 à 6 en levant 6 autres doigts, et pour terminer il recompte tous les doigts, de 1 à 8. C'est une stratégie archaïque et difficilement généralisable à d'autres nombres ;
• l'algorithme généralisable, par exemple 8 + 7 = 8 + 2 + 5 ;
• le procédé correct mais non généralisable : un procédé exact, mais propre à certains nombres, par exemple 8 + 7 = 8 + 8 − 1.

Quand l'examinateur ne parvient pas à identifier la procédure, il le signale : la réponse est cotée « Réussi, procédé pas clair ».

À partir d'un certain niveau, la réponse n'est considérée comme correcte que si l'algorithme de passage de classe est utilisé correctement : le surcomptage et le décomptage ne sont plus admis. Cela concerne les opérations avec passage de classe (par la dizaine, la centaine, etc.) portant sur des nombres supérieurs à 30. Pour une opération telle que 78 + 15, un enfant qui surcompte à partir de 78 et dit 79, 80, 81… 93 en levant 15 doigts utilise une technique qui n'est pas acceptée à ce niveau du test. Si l'enfant procède comme en calcul écrit, en traitant d'abord les dizaines puis les unités, ce procédé n'est pas admis non plus pour les opérations de type dizaine-unité plus dizaine-unité, qu'il y ait ou non un passage de classe. Cet algorithme est cependant supérieur à celui du surcomptage : en effet, l'enfant qui décompose ainsi a au moins conscience de la structure du nombre, ce qui n'est pas le cas de celui qui recompte un à un.

Certains types d'algorithmes sont plus difficiles à évaluer. C'est le cas lorsque l'enfant additionne d'abord les unités, qu'il garde en mémoire, puis les chiffres des dizaines (par exemple, pour 28 + 35, il calcule 8 + 5, puis 2 + 3) : il faut alors chercher à savoir s'il a bien conscience d'ajouter des dizaines (la question ne se pose pas s'il dit « 20 + 30 »). Ces observations ne signifient pas que l'on « joue avec les mots » : rappelons que ce qui est visé, ce sont les compétences de l'enfant en numération et calcul mental, et non la performance en tant que telle.

Organigrammes des questions posées

Les six organigrammes du calcul mental figurent sur la page « Les organigrammes », avec ceux des autres sous-tests ; cette page explique aussi comment les lire.

Quelques éléments de réflexion et d'analyse

Pourquoi le surcomptage n'est plus admis à partir d'un certain niveau. À partir des opérations avec passage de classe sur des nombres supérieurs à 30, on ne cherche plus uniquement à savoir si l'enfant connaît la réponse, mais s'il peut la trouver par une procédure généralisable à de plus grands nombres. Un enfant qui surcompte pour résoudre l'opération 67 + 25 se retrouvera à terme dans une impasse, quelle que soit l'exactitude de sa réponse.

Un lien avec la chaîne numérique. Nous avons signalé auparavant que la qualité des algorithmes utilisés en calcul mental est liée aux capacités de manipulation de la chaîne numérique.

Le rôle des doigts. Lors de passations du test, nous avons observé des enfants qui avaient utilisé leurs doigts en 3^e maternelle et qui n'osaient plus le faire en fin de 1^re primaire, parce que l'usage des doigts était strictement interdit dans leur classe. L'examinateur leur disait qu'ils pouvaient s'en servir, mais seulement lorsqu'ils étaient réellement en difficulté : intimidés, ils n'osaient pas. Leur résultat en calcul mental était alors inférieur à celui de la 3^e maternelle. Cette observation n'a pas fait l'objet d'une analyse systématique. Elle va dans le sens des recherches citées plus bas, selon lesquelles compter sur ses doigts est une étape utile du développement.

Ce que dit la recherche

Le chapitre 4 du livre de Lafay et Villain (2024), rédigé par Catherine Thevenot, fait le point sur les procédures que les enfants utilisent pour calculer. Les travaux mentionnés ci-dessous sont cités d'après ce chapitre.

Les additions

• Au début, les enfants représentent les deux termes sur leurs doigts, puis recomptent l'ensemble un à un. Cette stratégie « du tout » (Fuson, 1982) est massivement utilisée à 4 ans et demi par les enfants qui comptent déjà sur leurs doigts (Krenger & Thevenot, 2024).
• Un stade ultérieur consiste à garder en tête le premier terme et à n'utiliser les doigts que pour suivre le comptage : c'est « compter à partir de » (Fuson, 1982). À 5 ans et demi, cette stratégie domine chez les enfants dont les ressources en mémoire de travail sont élevées ; chez ceux dont les capacités sont plus faibles, c'est la stratégie du « tout » qui reste dominante (Dupont-Boime & Thevenot, 2018).
• Partir du plus grand des deux termes réduit le nombre de pas à effectuer. Le chapitre appelle cette stratégie « min », d'après Groen et Parkman (1972) ; elle ne suppose pas que l'enfant ait compris la commutativité de l'addition (Baroody & Gannon, 1984).
• Jusqu'à environ 8 ans, les enfants qui utilisent leurs doigts pour additionner réussissent mieux que ceux qui ne le font pas (Jordan et coll., 2008). Les enfants qui n'ont jamais compté sur leurs doigts jusqu'à la fin de l'école maternelle sont ceux qui réussissent le moins bien (Krenger & Thevenot, 2024). Compter sur ses doigts apparaît donc comme une étape utile du développement.
• Un comptage répété finit par associer en mémoire les termes de l'addition et sa réponse, qui peut alors être récupérée directement. Cette récupération concernerait surtout les additions dont les termes dépassent 4 (Bagnoud et coll., 2022 ; Uittenhove et coll., 2016). Pour les additions jusqu'à 4, l'expertise correspondrait à un comptage devenu automatique (Barrouillet & Thevenot, 2013 ; Thevenot & Barrouillet, 2020). MathEval distingue d'ailleurs un premier palier « jusque 5 ».

Les soustractions

• Les enfants de 7 à 9 ans utilisent surtout deux stratégies : décompter à partir du premier nombre, ou compter à partir du second jusqu'à rejoindre le premier (Woods et coll., 1975). Compter à rebours demande plus d'efforts que compter à l'endroit (Nairne & Healy, 1983), ce qui limite son automatisation.
• La récupération directe du résultat est rare, même à 9-11 ans. Les enfants résolvent souvent une soustraction à l'aide d'un fait additif, par exemple 6 − 3 = 3 parce que 3 + 3 = 6 (Svenson & Hedenborg, 1979 ; Verschaffel et coll., 2021).

Les stratégies et l'usage des doigts

• Pour un petit calcul comme 2 + 3, un enfant peut utiliser ses doigts et tout recompter, compter à partir du plus grand nombre (stratégie « minimum »), ou récupérer la réponse en mémoire. La flexibilité dans le choix des stratégies est importante pour la réussite (Geary et coll., 2004). Il peut récupérer 2 + 2 parce qu'il en est certain et surcompter avec ses doigts pour 5 + 3 (Mazens, in Lafay & Villain, 2024, chap. 25).
• Chez les enfants atteints de dyscalculie, la connaissance des faits numériques est souvent faible : pour additionner des nombres à un chiffre, ils comptent sur leurs doigts au lieu de récupérer le résultat en mémoire, comme le font les autres enfants. Au fil de l'apprentissage, les enfants passent normalement de procédures telles que le comptage sur les doigts à la récupération en mémoire (Siegler & Shrager, 1984). Les enfants dyscalculiques, eux, conservent ce type de stratégie, moins mature, pendant beaucoup plus d'années que les autres (Geary et coll., 2000 ; Ostad, 1998, cités par Menon & Chang, 2022, chap. 2).
• En 1re année, les enfants à faibles résultats en mathématiques ont des difficultés de récupération des faits numériques et utilisent incorrectement les stratégies de comptage sur les doigts et de comptage verbal pour additionner, par exemple 4 + 5 (Geary et coll., 1999, cités par Banfi, Landerl & Moll, 2022, chap. 4).

Ces énoncés ne se contredisent pas. Compter sur ses doigts aide à l'âge où cette stratégie est courante (jusqu'à environ 8 ans, selon Jordan et coll., 2008). Ce qui caractérise les enfants dyscalculiques, c'est qu'ils la conservent beaucoup plus longtemps et qu'ils commettent davantage d'erreurs en comptant.

Thevenot, C. (2024). Le calcul mental. In Lafay, A. & Villain, M. (dir.), Troubles de la cognition mathématique, de la compréhension aux interventions (chap. 4). Paris : De Boeck.