Ce que le test évalue

Le domaine Chaîne numérique

Il faut d'emblée distinguer le comptage et le dénombrement. Le comptage, c'est réciter la suite des mots-nombres ; le dénombrement, c'est compter des objets pour en connaître le cardinal. Quand on demande à un enfant jusqu'où il sait « compter », on parle de comptage ; quand on lui demande de « compter » des jetons, il s'agit de dénombrement — évalué dans le domaine Quantification.

Réciter n'est pas manipuler — et c'est tout l'enjeu de ce domaine

Il est tentant de croire qu'une bonne connaissance de la comptine « entraîne » de bonnes performances en calcul, et qu'il suffirait donc de la faire apprendre par cœur. Les données de MathEval montrent le contraire, et c'est la raison pour laquelle ce domaine ne se résume pas à une question de récitation.

Le score de comptine mélange en réalité deux choses très différentes : la récitation de la suite des nombres, et les manipulations de cette suite — compter à rebours, par bonds, entre deux bornes. Séparées, elles ne se comportent pas du tout de la même façon :

• la récitation seule corrèle à ,535 avec le score total du test, les manipulations à ,78 ;
• surtout, à niveau mathématique global constant, la récitation ne corrèle plus du tout avec le score de comptine (−,076), tandis que les manipulations y restent corrélées à ,971 ;
• en suivant les mêmes enfants de la 3^e maternelle à la 2^e primaire, la comptine simple annonce le niveau de calcul mental à ,31, la comptine totale à ,41.

Autrement dit : savoir réciter loin est une conséquence du niveau en mathématiques, pas une cause. Ce qui distingue vraiment les enfants, c'est ce qu'ils savent faire de cette suite. Ces résultats viennent des analyses menées sur les données de MathEval elles-mêmes — le détail est sur les pages Corrélations 2011 et Suivi longitudinal.

Le cadre : cinq niveaux de maîtrise

On distingue habituellement cinq niveaux de maîtrise de la chaîne numérique, décrits en termes de stades — le modèle vient de Fuson, Richards et Briars (1982). Chacun regroupe sans doute un ensemble large et hétéroclite d'aptitudes, voire de savoir-faire acquis par l'expérience. Le passage d'un stade à l'autre est progressif : certaines compétences d'un stade jugé antérieur ne sont pas encore acquises alors que le stade suivant est déjà amorcé. C'est la raison pour laquelle le rapport se montre nuancé quant au degré de maîtrise atteint.

Stade 1 — Chapelet

Les mots-nombres sont « récités » comme une litanie, sans marquer de pause entre eux (« undeuxtroisquatrecinq... ») ; ils ne sont pas différenciés les uns des autres.

Stade 2 — Chaîne insécable

Les mots-nombres sont bien différenciés et individualisés mais le comptage doit toujours commencer par 1. L'enfant n'est pas capable de commencer à compter à partir d'un autre nombre que 1, ni de dire le nombre qui suit sans reproduire l'ensemble de la séquence (ex. : « après 3 ? » → « 1, 2, 3, 4, c'est 4 »). Il est capable de compter jusqu'à une borne supérieure, à condition que le comptage débute par 1.

Par analogie, ce stade correspond à la maîtrise de l'alphabet de la plupart des gens — et l'on comprend mieux, à partir de cette analogie, à quel point ce type de maîtrise est insuffisant pour aborder le calcul mental proprement dit : l'algorithme du surcomptage nécessite la capacité à compter à partir d'une borne inférieure différente de 1.

Stade 3 — Chaîne sécable

L'enfant est au moins capable de compter à partir d'une borne inférieure différente de 1, ainsi qu'entre deux bornes. Plus la chaîne numérique est « manipulable » et plus on peut dire que le stade est maîtrisé. Progressivement, d'autres habiletés apparaissent :

• l'enfant est capable de dire le nombre qui suit ou précède un autre nombre de façon relativement immédiate, sans recours à une subvocalisation de la comptine — cette capacité s'installe progressivement, et certaines parties de la chaîne (comme les dizaines entières, ou les nombres irréguliers tels que 15 ou 12) posent plus de problèmes que d'autres ;
• l'enfant est également capable de compter à rebours et de compter par pas (de 2, 5, 10, etc.).

Stade 4 — Chaîne dénombrable

La chaîne numérique n'est plus uniquement une succession de nombres ordinaux ; chaque mot-nombre évoque aussi son cardinal. À ce stade, l'enfant est doté des compétences nécessaires pour être en mesure de résoudre des opérations par surcomptage (compter x à partir de y). Ce « stade » est vu comme une prolongation du précédent plutôt que comme un indicateur d'une compétence spécifique vraiment nouvelle.

Il ne se mesure pas dans ce domaine-ci, mais au calcul mental. On ne peut pas voir la chaîne dénombrable en faisant réciter un enfant : on la voit en le regardant calculer. Surcompter, c'est compter des mots-nombres — pour faire 9 + 3, l'enfant dit « dix, onze, douze » tout en tenant le compte des trois mots prononcés. Le rapport atteste donc ce stade depuis les additions, quand le surcomptage apparaît, ou depuis les soustractions, quand l'enfant franchit la dizaine à rebours. Et lorsque le calcul a eu lieu sans rien montrer de tel, le rapport le dit plutôt que de laisser croire à un oubli.

Stade 5 — Chaîne bi-directionnelle

Ce stade me semble beaucoup plus hypothétique que les précédents, au point qu'il est impossible de l'évaluer de manière opérationnelle ; il n'est donc pas évalué au sein du test. Il correspondrait à la généralisation de la classe et de la série (selon la théorie piagétienne) — l'accès à ce stade nécessiterait, outre la maîtrise de compétences proprement numériques, la maîtrise d'aptitudes beaucoup plus transversales (capacités logiques, mémoire de travail) et/ou serait sous la dépendance d'apprentissages formalisés et spécifiques (cursus scolaire).

Les cinq épreuves

Elles suivent l'ordre ci-dessous pendant la passation, et chacune n'est proposée que si la précédente a montré qu'elle avait un sens.

1 — La comptine

« Jusqu'où sais-tu compter ? ». L'enfant récite, et l'on note où il s'arrête, ainsi que la nature de ce qui l'arrête — une rupture à une dizaine entière n'a pas la même valeur qu'un arrêt net au milieu d'une série.

2 — Compter entre deux bornes

« Compte depuis 7 jusqu'à 13 ». Puis, si l'enfant échoue, les deux moitiés de la tâche sont proposées séparément : compter jusqu'à une borne, et compter à partir de une borne. Un seul détour est autorisé, après quoi le test conclut.

3 — Compter par bonds

Compter de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10. Chaque palier est proposé à son tour.

4 — Compter à rebours

Compter en arrière depuis 9, puis depuis 16.

5 — Suivant et précédent — épreuve ajoutée

« Quel nombre vient juste après 7 ? », puis « juste avant 7 ? ». Quatre échelons, de plus en plus loin dans la chaîne.

Elle renforce le stade 3, la chaîne sécable — elle n'en ouvre pas un nouveau. Répondre sans repartir de un est précisément ce qui sépare la chaîne insécable de la chaîne sécable, et c'est le critère de cotation de l'épreuve. Elle ne dit donc rien des stades 4 et 5, qui se mesurent ailleurs ou pas du tout (voir l'encadré plus haut). Ce qu'elle ajoute au comptage entre deux bornes, c'est la sévérité — on ne peut pas y réciter en silence pour se donner un élan — et la gradation : elle dit jusqu'où va l'accès immédiat.

Organigrammes des questions posées

Les organigrammes de ce domaine sont rassemblés sur une seule page, avec ceux de toutes les autres épreuves : les six organigrammes de la chaîne numérique. La même page explique comment les lire.