Le domaine Quantification

En une phrase : comment l'enfant passe d'une collection d'objets à une quantité — d'un coup d'œil, ou en comptant.

Les procédures de quantification permettent de déterminer la numérosité de collections d'éléments. Elles sont au nombre de trois : le subitizing, le dénombrement et l'estimation globale (non encore investiguée dans MathEval). Nous traitons ici du subitizing et du dénombrement.

Deux résultats qui orientent la lecture de ce domaine

Les analyses menées sur les données de MathEval font ressortir deux choses inattendues, et elles expliquent pourquoi ce domaine est traité avec autant de soin.

Le subitizing est le meilleur signe précoce dont dispose le test. En suivant les mêmes enfants de la 3^e maternelle à la 2^e primaire, c'est l'épreuve de maternelle qui annonce le mieux le niveau de calcul mental deux ans plus tard — r = ,63, devant le score total du test lui-même (,61), les additions (,49) et le sens des nombres (,47). Une capacité qui paraît anecdotique — voir d'un coup qu'il y a trois objets — se révèle le meilleur prédicteur de la liste.

Le dénombrement, lui, ne ressemble à rien d'autre. C'est le seul sous-test qui ne corrèle avec aucun des autres : ,18 avec la comptine, ,18 avec les additions, ,04 avec l'écriture des nombres, −,02 avec les soustractions. Sa corrélation moyenne avec le reste de la batterie est de ,16, et il ne suit pas le facteur général que partagent tous les autres sous-tests. Le constat s'est répété sur quatre jeux de données différents.

Un sous-test qui ne corrèle avec rien n'est pas un sous-test raté : c'est un sous-test qui mesure autre chose. Concrètement, un enfant peut très bien dénombrer correctement et être en difficulté partout ailleurs — ou l'inverse. Le résultat au dénombrement ne se déduit donc pas du reste du profil, et c'est précisément ce qui lui donne sa valeur : il faut le regarder pour lui-même.

Le détail de ces analyses est sur les pages Corrélations 2011 et Suivi longitudinal.

Le subitizing

Processus qui permet de déterminer d'une manière rapide, globale et précise la numérosité de petites collections d'éléments sans avoir recours au dénombrement. Ce processus se distingue clairement :

du dénombrement, processus relativement lent mais qui débouche sur la numérosité exacte d'une collection d'éléments ;
de l'estimation globale, processus rapide mais qui conduit à une quantification approximative ; il n'intervient que lorsque le nombre d'éléments est très grand et/ou le temps disponible est très réduit — c'est ce procédé qui est, par ex., à la base des chiffres avancés concernant le nombre de personnes présentes lors d'une manifestation.

On distingue habituellement deux types de subitizing :

le subitizing conceptuel (ou spatial) — fait appel à la reconnaissance de patterns (schèmes), soit spatiaux (ex. 5 points disposés comme sur un dé), soit spatiaux et kinesthésiques (doigts d'une main levés), soit même rythmiques. Ce type de subitizing, qui se développe progressivement à partir du subitizing perceptif grâce à l'expérience et l'entraînement, constitue sans doute l'une des aptitudes à la base du sens du nombre cardinal et de la construction des habiletés arithmétiques (cf. la « collection-témoin » de Rémi Brissiaud). Il est évalué à l'aide de collections-témoin de doigts, présentées sous forme de dessins.
le subitizing perceptif — correspond à la définition princeps, parce qu'il ne fait appel à aucune connaissance préalable. Il est évalué au sein du test en demandant à l'enfant de quantifier des collections de points disposés de manière quelconque.

Le subitizing, en deux séries

Série 1 — points. Des collections de points, disposées sans ordre particulier, apparaissent brièvement. L'enfant dit combien il en voit, sans avoir le temps de compter.

Série 2 — doigts. La même tâche, avec des configurations de doigts levés — des collections-témoins que l'enfant a déjà rencontrées.

Pourquoi les deux séries. Elles séparent ce qui est immédiat de ce qui a été appris. Le subitizing perceptif ne demande aucune connaissance préalable ; le subitizing conceptuel s'appuie sur des configurations familières, et c'est celui qui se construit par l'expérience. Un enfant qui réussit les doigts mais pas les points quelconques a mémorisé des images ; l'inverse signale une perception intacte que l'école n'a pas encore outillée.

C'est aussi, d'après le suivi longitudinal, l'épreuve la plus prédictive du test — raison suffisante pour la faire passer même quand tout le reste semble aller bien.

Dénombrement

Dénombrer, c'est mettre en correspondance terme à terme les éléments de la suite conventionnelle des noms des nombres avec les éléments d'une collection, de manière à déterminer le cardinal de cette dernière. Le dénombrement repose donc sur la coordination et la maîtrise, au moins partielle, de deux activités : l'énonciation de la suite conventionnelle des nombres, et l'activité de pointage des éléments à dénombrer.

Selon Gelman et Gallistel (1978), un comptage correct repose sur la maîtrise et la coordination de 5 principes :

Principe de correspondance terme à terme — un seul mot-nombre est associé à chaque élément appartenant à l'ensemble à dénombrer.
Principe d'ordre stable — les mots-nombres servant à dénombrer les éléments d'une collection sont toujours énoncés selon une séquence stable. Pour que ce principe soit considéré comme acquis, il n'est pas nécessaire que la suite soit conventionnelle ; si un enfant utilise une séquence non conventionnelle, il faut lui demander de recompter pour s'assurer du caractère stable de la séquence.
Principe cardinal — l'enfant prend conscience du fait que le dernier mot-nombre énoncé lors d'un comptage correspond au nombre total d'éléments de l'ensemble dénombré. Si l'on arrête l'enfant en cours de comptage en lui demandant combien d'objets il a comptés jusqu'à présent, il cite simplement le dernier mot-nombre énoncé.
Principe de non-pertinence (ou d'indifférence) de l'ordre — l'ordre dans lequel les éléments sont dénombrés n'affecte pas le cardinal d'une collection, tant que les autres principes sont respectés.
Principe d'abstraction — l'hétérogénéité (vs l'homogénéité) des éléments n'a pas d'impact sur leur dénombrement. Les éléments à dénombrer, indépendamment de leurs qualités sensibles, sont considérés en tant qu'unités distinctes, dénombrables.

Ce dernier principe, l'abstraction, n'est pas évalué dans MathEval. Comme le souligne Catherine Van Nieuwenhoven (manuel du Tedi-Math, p. 19), son évaluation est difficile — les échecs enregistrés dans les épreuves habituelles sont le plus souvent liés soit à une incompréhension partielle des attentes de l'expérimentateur, soit à une insuffisance dans d'autres prérequis, soit les deux. Les études sur les bébés (Feigenson, Dehaene & Spelke, 2004 ; Wynn, 1998) plaident d'ailleurs en faveur d'une capacité d'abstraction innée, présente dès la petite enfance.

Une digression sur l'abstraction : le piège des « carrés »

On peut s'interroger sur l'utilité des épreuves qui consistent à demander à l'enfant de dénombrer des ensembles composés de lapins et de crocodiles, la capacité d'abstraction étant considérée comme acquise si l'enfant additionne les deux pour obtenir le nombre d'animaux. A-t-on jamais rencontré un enfant incapable d'une telle abstraction ? A-t-on, en fait, bien évalué ainsi la capacité d'abstraction ?

Pour s'en convaincre, examinez ce dessin et répondez : « Tu vois les dessins ci-dessous ? Dis-moi d'abord combien il y en a. »

Carré composé de plusieurs carrés emboîtés, illustrant l'ambiguïté du dénombrement par abstraction

La réponse la plus naturelle est généralement « 4 » (les 4 grands carrés). Mais si l'on insiste sur les plus petits carrés inclus dans les grands, le compte grimpe à 4 + 4×25 = 29. En réalité, en comptant méthodiquement tous les carrés de toutes tailles, on en trouve... 220 — (5² + 4² + 3² + 2² + 1) × 4.

Cette question, en apparence toute simple, « combien y en a-t-il ? » est susceptible d'engendrer une multitude de réponses correctes selon que l'on considère les segments, les droites, les angles droits, les surfaces, le nombre de couleurs utilisées, etc. L'abstraction ultime ne consiste-t-elle pas à additionner tous ces éléments en apparence disparates, mais qui n'en sont pas moins des « unités dénombrables » ? Pour ces raisons, le principe d'abstraction n'est pas évalué dans MathEval.

Évaluation des 4 principes dans MathEval

Dans un premier temps, le test évalue les 4 principes au moyen d'une tâche de production : l'enfant est invité à dénombrer une collection d'objets, et les principes sont évalués d'après la manière dont le dénombrement s'effectue.

La correspondance terme à terme n'est évaluée qu'au travers d'une tâche de production.
Le principe d'ordre stable est évalué grâce à une tâche de détection, en cas d'échec en production.
En cas d'échec, le principe cardinal est évalué, toujours au moyen d'une tâche de production, en proposant une collection plus petite à l'enfant.
L'épreuve de non-pertinence de l'ordre est évaluée uniquement au moyen d'une épreuve de détection.

Les cinq épreuves

Elles se suivent dans cet ordre pendant la passation : dénombrement, puis ordre stable si le dénombrement a échoué, puis non-pertinence de l'ordre, principe cardinal, et enfin le subitizing, qui ferme le domaine. Le subitizing est décrit plus haut avec sa théorie ; les quatre autres suivent.

Le dénombrement d'une collection

L'enfant compte une collection de ronds — neuf d'abord, puis treize ou dix-neuf selon ce que sa comptine permet. On observe autant sa réponse que sa manière de faire : pointe-t-il chaque élément une fois et une seule, sa suite de mots-nombres est-elle stable, donne-t-il le dernier mot comme total ?

Pourquoi cette épreuve. C'est la seule qui mette les quatre principes à l'épreuve en même temps, dans une tâche que l'enfant reconnaît. Une erreur de comptage n'a pas la même signification selon le principe qui a lâché : sauter un élément, se tromper de suite, ou recompter quand on lui demande le total sont trois difficultés différentes, et trois remédiations différentes. Les épreuves qui suivent servent à identifier laquelle.

C'est aussi l'épreuve dont le résultat ne se déduit d'aucun autre (voir plus haut) : la sauter au motif que l'enfant réussit ailleurs reviendrait à perdre une information que rien d'autre ne donne.

L'ordre stable

Proposée seulement si le dénombrement a échoué. On montre à l'enfant un comptage fait par quelqu'un d'autre, et on lui demande s'il est correct.

Pourquoi passer par le jugement plutôt que par la production. Un enfant peut échouer à compter pour des raisons qui n'ont rien à voir avec le principe testé — distraction, geste maladroit, comptine incomplète. Lui demander de juger le comptage d'un autre retire la charge de l'exécution et ne laisse que la question : cette suite est-elle la bonne ? Réussir ici après avoir échoué en production est une information à part entière : l'enfant sait, mais ne parvient pas encore à faire.

Le principe cardinal

Également proposée après un échec, sur une collection plus petite. La question est simple : après avoir compté, l'enfant sait-il combien il y en a — ou faut-il qu'il recompte ?

Pourquoi cette épreuve. C'est le point de bascule entre compter et dénombrer. Tant que le dernier mot-nombre n'est qu'un mot de plus dans la série, l'enfant compte sans obtenir de quantité — et il recomptera à chaque fois qu'on lui posera la question. Ce principe conditionne tout ce qui suit : on ne peut pas comparer, ajouter ou retrancher des quantités qu'on ne sait pas nommer.

La non-pertinence de l'ordre

Toujours en jugement : on compte une même collection dans un ordre, puis dans un autre, et l'on demande à l'enfant si le résultat change.

Pourquoi cette épreuve. Elle porte sur ce que l'enfant comprend du comptage, pas sur ce qu'il sait en faire. Croire que le total dépend de l'ordre dans lequel on pointe, c'est traiter le comptage comme un rituel dont il faut respecter la forme, et non comme une opération qui donne une propriété de la collection. C'est une conception que le comptage réussi ne révèle pas — d'où le passage par le jugement.