Le domaine Numération décimale

En une phrase : ce que l'enfant comprend de la façon dont un nombre écrit est construit — que le 2 de 23 ne vaut pas deux, mais deux paquets de dix.

Savoir écrire « 23 » et savoir que 23 contient deux paquets de dix sont deux choses différentes. La première relève du transcodage ; la seconde est ce qui rend possible tout le calcul posé qui suivra. Sans elle, la retenue, l'échange et la soustraction avec emprunt restent des gestes appris par cœur, exécutés sans que l'enfant sache ce qu'il déplace.

C'est une compétence difficile à acquérir, y compris pour les enfants qui n'ont aucune difficulté par ailleurs, et sa maîtrise est un prédicteur des compétences arithmétiques ultérieures. Les autrices de la batterie Examath 5-8 relèvent en outre que peu d'outils permettent de l'évaluer chez les enfants de cinq à huit ans — c'est-à-dire au moment précis où elle se met en place (Lafay, Betin & Helloin, 2022).

Domaine ajouté après la campagne d'étalonnage. Ses scores sont donnés en brut, sans comparaison avec un groupe de référence.

Comment les trois épreuves s'enchaînent

Les trois épreuves vont de la reconnaissance à la production, et elles sont administrées en cascade : on ne passe à la suivante que si la précédente a donné au moins une réussite. Un enfant qui ne reconnaît pas deux paquets de dix dans 23 ne dira rien de ce que vaut le 4 de 347, et l'interroger quand même n'ajouterait que des échecs prévisibles à une passation déjà longue.

Le domaine vient après le transcodage, en dernier. La raison est matérielle : toutes ces questions montrent un nombre écrit et demandent ce qu'il contient. Elles supposent donc que l'enfant sache lire ce nombre. Le test le sait déjà — l'épreuve de lecture vient de le mesurer — et il s'en sert :

si l'enfant n'a pas lu les nombres à deux chiffres, le domaine n'est pas proposé : ses réponses ne renseigneraient que sur sa lecture ;
s'il lit les nombres à deux chiffres mais pas ceux à trois, les deux questions portant sur des nombres à trois chiffres sont écartées ;
s'il lit les nombres à trois chiffres, le domaine est proposé en entier.

Dans les deux premiers cas, le rapport dit la règle qui a été appliquée et l'observation sur laquelle elle s'appuie. Il ne s'agit pas d'un échec : la question n'a pas été posée.

Épreuve 1 — Dizaines et unités

Un nombre s'affiche en grand. Quatre collections sont proposées, faites de barres de dix et d'unités isolées ; l'enfant désigne celle qui correspond au nombre. Trois échelons, du plus simple au plus difficile : 14 (une seule barre), 23 (le cas ordinaire), 40 (un zéro en position d'unité).

Dans chaque item, l'un des trois leurres est le nombre aux chiffres inversés — 41 quand on demande 14, 32 quand on demande 23. C'est le seul choix qui permette de distinguer un enfant qui n'a pas compris la question d'un enfant qui lit correctement les deux chiffres mais ne leur attribue aucun rang. Le rapport le signale quand il se produit.

Le mot « dizaine » n'est pas prononcé dans la consigne : il est testé dans la troisième épreuve, et le dire ici reviendrait à l'enseigner avant de le mesurer.

Pourquoi cette épreuve. C'est le premier niveau de compréhension du système décimal : reconnaître, dans un nombre écrit, la quantité groupée qu'il représente. La tâche est classique — faire correspondre un nombre écrit et une collection groupée par dix est l'une des façons les plus anciennes d'évaluer la numération décimale. Le Tedi-Math (Van Nieuwenhoven, Grégoire & Noël, 2001) la propose dans son module « Compréhension du système numérique », où l'enfant représente ou reconnaît un nombre avec des bâtonnets isolés ou attachés par paquets de dix ; la littérature de recherche en décrit plusieurs variantes, avec du matériel réel ou dessiné (Chan, 2014 ; Chan et al., 2017 ; Lafay et al., 2020).

Une différence, en revanche : ces épreuves ne sont généralement proposées qu'à partir de la 2^e primaire (CE1). MathEval propose celle-ci dès la 3^e maternelle, et c'est la seule des trois à l'être : désigner une collection ne demande ni de lire le nombre à voix haute, ni de connaître le mot « dizaine » — rien n'oblige donc à attendre que ces deux acquis soient là pour observer si la structure du nombre est perçue.

Épreuve 2 — Valeur du chiffre

Le nombre est affiché, un chiffre est encadré : « ce chiffre-là, il vaut combien ? ». La réussite tient à un mot : l'enfant doit donner la valeur (« vingt », « quarante ») et non le chiffre (« deux », « quatre »). Trois échelons : le 2 de 23, le 4 de 45, puis le 4 de 347 — la position centrale, la plus difficile, réservée aux enfants qui lisent les nombres à trois chiffres.

En cas d'échec, la question est reposée en choix multiple, sur un autre nombre — 36 après 23, 52 après 45, 582 après 347 : le même chiffre y occupe le même rang, la question est donc de même difficulté. Le nombre change pour une raison précise : remontrer à l'enfant celui qu'il vient de rater, avec la bonne réponse parmi les propositions, lui apprendrait qu'il s'est trompé avant même qu'il ait choisi. Reconnaître la valeur parmi plusieurs propositions vaut un demi-échelon, jamais un échelon plein — la donner soi-même reste plus exigeant, et le rapport distingue les deux.

Quatre propositions, cinq pour un nombre à trois chiffres. Pour un 5 désigné dans 52 : cinquante, cinq, deux, cinquante-deux. Chaque proposition correspond à une erreur possible — le chiffre lu tel quel, un autre chiffre du nombre, le nombre entier —, de sorte que le choix de l'enfant dit lequel il a fait. Le nombre de remplacement garde la même longueur et le même rang interrogé, sans zéro ni chiffre répété. Reconnaître n'est pas produire : c'est la distinction que les épreuves de mémoire font entre le rappel et la reconnaissance.

Pourquoi cette épreuve. Reconnaître une collection groupée ne suffit pas à montrer que l'enfant a compris la valeur de position. Cette épreuve la vise directement : un chiffre ne vaut pas ce qu'il montre, il vaut ce que sa place lui donne. C'est ce qui distingue une numération comprise d'une numération appliquée comme une recette, distinction que la recherche décrit comme un passage progressif entre plusieurs stades de compréhension (Herzog et al., 2019, cités par Lafay, Betin & Helloin, 2022).

Épreuve 3 — Décomposition

La plus exigeante : l'enfant ne choisit ni ne commente, il produit. « 47, c'est combien de dizaines et combien d'unités ? », puis, pour ceux qui lisent les nombres à trois chiffres, « 236, c'est combien de centaines, de dizaines et d'unités ? ».

L'échec ouvre deux reprises successives, qui ne cherchent pas la même chose.

La reprise lexicale, d'abord — la même question, sur le même nombre, avec des mots de tous les jours : « 47, c'est combien de paquets de dix, et combien tout seuls ? ». Ce n'est pas une question supplémentaire, c'est la même, et elle sert à savoir ce qui manquait. Un enfant qui échoue avec « dizaines » et réussit avec « paquets de dix » connaît la notion ; c'est le mot scolaire qui lui manque. Le rapport le dit, parce que l'enseignant n'a pas le même travail à faire dans les deux cas. C'est aussi, mot pour mot, la façon dont le Tedi-Math pose la question dans son épreuve de représentation mentale.

Le repli en dessins, ensuite, si la question échoue aussi avec les mots de tous les jours. La question change alors de forme et de nombre : on passe de 47 à 63, et quatre collections sont proposées à désigner — six barres et trois unités (la bonne), trois barres et six unités (les rangs échangés), soixante-trois unités isolées (le total est juste, rien n'est groupé), six barres et rien (les unités perdues). Le principe reste celui de la reprise lexicale : reposer une question pour savoir ce qui manquait — ici, non plus le mot, mais la capacité à dire soi-même ce qu'on perçoit. Un enfant qui désigne la bonne collection sans avoir pu énoncer la décomposition a la structure ; ce qui lui manque est de la formuler. Le nombre change pour la même raison qu'à l'épreuve précédente : remontrer 47 avec la bonne réponse sous les yeux apprendrait à l'enfant qu'il vient de se tromper. Réussir là vaut un demi-échelon, jamais un échelon plein.

Pourquoi cette épreuve. Reconnaître et produire ne sont pas la même chose : un enfant peut désigner la bonne collection sans être capable de décomposer un nombre lui-même. C'est l'écart entre les deux qui est informatif, et c'est pourquoi les trois épreuves sont conservées plutôt qu'une seule. La distinction entre l'aspect procédural et l'aspect conceptuel du système de numération — savoir s'en servir avant de le comprendre — est documentée chez les enfants de cet âge (Lafay, Betin & Helloin, 2022).

Les compléments à dix — épreuve ajoutée, posée ailleurs dans la passation

« Combien faut-il ajouter à 7 pour arriver à 10 ? ». Quatre items au plus. Cette épreuve n'appartient pas à la cascade décrite plus haut : elle est posée pendant le sous-test de calcul mental, après les additions et les soustractions. Elle figure ici, et non dans le calcul mental, parce que l'enfant n'y opère pas sur deux quantités : il restitue une décomposition de dix — un fait numérique, pas une procédure de calcul. Ce fait porte sur dix, la base de la numération de position : c'est pourquoi l'épreuve est rangée ici.

Pourquoi cette épreuve. Le passage par la dizaine — calculer 8 + 5 en faisant 8 + 2 + 3 — suppose de connaître les compléments à dix. Un enfant qui ne les a pas échouera à toute addition franchissant 10, et l'on saura pourquoi plutôt que de constater l'échec.

Elle n'est pas posée à tout le monde. Si l'enfant a déjà montré, en addition, qu'il décompose pour franchir la dizaine, la réponse est acquise : le test ne pose pas la question et le rapport note l'acquis comme déduit, en le disant, pour qu'on ne le confonde jamais avec un acquis observé.

Son intérêt principal est ailleurs : un enfant qui surcompte en calcul mais réussit les compléments quand on les lui demande directement connaît le fait sans le mobiliser. La connaissance est là ; c'est son emploi en situation qui manque — et cela ne se travaille pas de la même façon. C'est aussi pourquoi son score reste séparé de celui du calcul mental : réussir la question ne prouve pas qu'on s'en sert pour calculer.

Épreuve ajoutée après la campagne d'étalonnage : score en résultat brut, sans comparaison avec un groupe de référence.

Références. Van Nieuwenhoven, C., Grégoire, J. & Noël, M.-P. (2001). Tedi-Math : test diagnostique des compétences de base en mathématiques. — Lafay, A., Betin, E. & Helloin, M.-C. (2022). Validité du module Numération de la batterie Examath 5-8. Glossa, 133, 1-26.

Les chiffres cités proviennent d'un échantillon de 41 enfants scolarisés en France (15 en 3^e maternelle, 12 en 1^re primaire, 14 en 2^e), dans des écoles privées de milieu socio-économique élevé — les autrices signalent elles-mêmes cette limite. Ils indiquent une direction, ils ne constituent pas une norme.

Organigrammes des questions posées

Les organigrammes de ce domaine sont rassemblés sur une seule page, avec ceux de toutes les autres épreuves : les quatre organigrammes de la numération décimale. La même page explique comment les lire.