Ce que le test évalue

Le sous-test Numération décimale

Une relecture de cette page est prévue à bref ou moyen terme. La priorité est d'abord allée à la reconstruction du test lui-même plutôt qu'à la syntaxe du site ; je vous prie de m'en excuser.

Les quatre épreuves

Épreuve	Ce qui est demandé
1. Dizaines et unités	Un nombre s'affiche. L'enfant désigne, parmi quatre collections de barres de dix et d'unités isolées, celle qui correspond. Trois échelons : 14, 23, 40
2. Valeur du chiffre	Un chiffre est encadré dans un nombre : « Ce chiffre-là, il vaut combien ? » Le 2 de 23, le 4 de 45, le 4 de 347. En cas d'échec, l'enfant choisit entre plusieurs réponses, sur un autre nombre
3. Décomposition	« 47, c'est combien de dizaines et combien d'unités ? » Avec des nombres à trois chiffres pour ceux qui les lisent. En cas d'échec, la question est reposée avec d'autres mots, puis l'enfant choisit parmi des dessins
4. Compléments à dix	« Combien faut-il ajouter à 7 pour arriver à 10 ? » Quatre questions au plus, posées pendant le calcul mental

Comment les trois épreuves s'enchaînent

Les trois épreuves vont de la reconnaissance à la production, et elles sont administrées en cascade : on ne passe à la suivante que si la précédente a donné au moins une réussite. Un enfant qui ne reconnaît pas deux paquets de dix dans 23 ne pourra pas dire ce que vaut le 4 de 347, et l'interroger quand même n'ajouterait que des échecs prévisibles à une passation déjà longue.

Le domaine vient après le transcodage, en dernier. La raison est matérielle : toutes ces questions montrent un nombre écrit et demandent ce qu'il contient. Elles supposent donc que l'enfant sache lire ce nombre. Cette information est déjà connue : l'épreuve de lecture vient de la mesurer, et le test s'en sert :

• si l'enfant n'a pas lu les nombres à deux chiffres, le domaine n'est pas proposé : ses réponses ne renseigneraient que sur sa lecture ;
• s'il lit les nombres à deux chiffres mais pas ceux à trois, les deux questions portant sur des nombres à trois chiffres sont écartées ;
• s'il lit les nombres à trois chiffres, le domaine est proposé en entier.

Dans les deux premiers cas, le rapport dit la règle qui a été appliquée et l'observation sur laquelle elle s'appuie. Il ne s'agit pas d'un échec : la question n'a pas été posée.

Épreuve 1 — Dizaines et unités

Un nombre s'affiche en grand. Quatre collections sont proposées, faites de barres de dix et d'unités isolées ; l'enfant désigne celle qui correspond au nombre. Trois échelons, du plus simple au plus difficile : 14 (une seule barre), 23 (le cas ordinaire), 40 (un zéro en position d'unité).

Dans chaque item, l'un des trois leurres est le nombre aux chiffres inversés — 41 quand on demande 14, 32 quand on demande 23. Ce leurre permet de distinguer un enfant qui n'a pas compris la question d'un enfant qui lit correctement les deux chiffres mais ne leur attribue aucun rang. Le rapport le signale quand il se produit.

Le mot « dizaine » n'est pas prononcé dans la consigne : il est testé dans la troisième épreuve, et le dire ici reviendrait à l'enseigner avant de le mesurer.

Épreuve 2 — Valeur du chiffre

Le nombre est affiché, un chiffre est encadré : « ce chiffre-là, il vaut combien ? ». La réussite tient à un mot : l'enfant doit donner la valeur (« vingt », « quarante ») et non le chiffre (« deux », « quatre »). Trois échelons : le 2 de 23, le 4 de 45, puis le 4 de 347 — la position centrale, la plus difficile, réservée aux enfants qui lisent les nombres à trois chiffres.

Si l'enfant échoue, on lui propose un choix entre plusieurs réponses, avec un autre nombre : 36 après 23, 52 après 45, 582 après 347. Le chiffre interrogé garde le même rang, donc la difficulté reste la même. On change de nombre pour une raison précise : montrer à l'enfant celui qu'il vient de rater, avec la bonne réponse parmi les propositions, lui apprendrait qu'il s'est trompé avant même qu'il ait choisi. Reconnaître la valeur parmi plusieurs réponses vaut un demi-échelon, jamais un échelon plein, car la donner soi-même est plus exigeant ; le rapport distingue les deux cas.

L'enfant a le choix entre quatre réponses, ou cinq pour un nombre à trois chiffres. Prenons le chiffre 5 du nombre 52 : les réponses sont cinquante, cinq, deux et cinquante-deux. Seule la première est correcte. Chacune des autres correspond à une erreur possible : le chiffre lu tel quel (cinq), l'autre chiffre du nombre (deux), le nombre entier (cinquante-deux). Le choix de l'enfant indique donc quelle erreur il a faite. Le nouveau nombre a la même longueur que le précédent et le même rang interrogé ; il ne contient ni zéro ni chiffre répété. Reconnaître n'est pas produire : les épreuves de mémoire font la même distinction entre la reconnaissance et le rappel.

Épreuve 3 — Décomposition

C'est l'épreuve la plus exigeante : l'enfant ne choisit pas et ne commente pas, il produit lui-même la réponse. « 47, c'est combien de dizaines et combien d'unités ? », puis, pour ceux qui lisent les nombres à trois chiffres, « 236, c'est combien de centaines, de dizaines et d'unités ? ».

Si l'enfant échoue, deux reprises se suivent. Chacune cherche à savoir ce qui manquait à sa réponse.

Première reprise : les mots de la vie courante. L'enfant entend la même question, sur le même nombre, mais avec d'autres mots : « 47, c'est combien de paquets de dix, et combien tout seuls ? » Un enfant qui échoue avec « dizaines » et réussit avec « paquets de dix » connaît la notion ; c'est le mot scolaire qui lui manque. Le rapport le signale, parce que l'enseignant n'a pas le même travail à faire dans les deux cas. Le Tedi-Math pose la question exactement de cette façon dans son épreuve de représentation mentale.

Seconde reprise : choisir parmi des dessins, si l'enfant échoue aussi avec les mots de la vie courante. Il n'a plus à énoncer la réponse, mais à la désigner. Le nombre change : on passe de 47 à 63. Quatre dessins de collections sont proposés : six barres et trois unités (la bonne réponse), trois barres et six unités (les rangs sont échangés), soixante-trois unités isolées (le total est juste, mais rien n'est groupé), six barres sans unités (les unités sont perdues). Un enfant qui désigne la bonne collection sans avoir su énoncer la décomposition a compris la structure du nombre ; ce qui lui manque, c'est de savoir la formuler. Le nombre change pour la même raison qu'à l'épreuve précédente : remontrer 47 avec la bonne réponse sous les yeux apprendrait à l'enfant qu'il vient de se tromper. Réussir à cette étape vaut un demi-échelon, jamais un échelon plein.

Les compléments à dix — épreuve ajoutée, posée ailleurs dans la passation

« Combien faut-il ajouter à 7 pour arriver à 10 ? » L'épreuve comprend quatre questions au plus. Elle n'appartient pas à la cascade décrite plus haut : elle est proposée à l'enfant lors du calcul mental, après les additions et les soustractions. Elle est pourtant décrite ici, et non avec le calcul mental, parce que l'enfant n'y opère pas sur deux quantités : il restitue une décomposition de dix — un fait numérique, pas une procédure de calcul. Ce fait porte sur dix, la base de la numération de position.

Organigrammes des questions posées

Les quatre organigrammes de la numération décimale figurent sur la page « Les organigrammes », avec ceux des autres sous-tests ; cette page explique aussi comment les lire.

Quelques éléments de réflexion et d'analyse

Savoir écrire « 23 » et savoir que 23 contient deux paquets de dix sont deux choses différentes. La première relève du transcodage ; la seconde est ce qui rend possible tout le calcul posé qui suivra. Sans elle, la retenue, l'échange et la soustraction avec emprunt restent des gestes appris par cœur, exécutés sans que l'enfant sache ce qu'il déplace.

C'est une compétence difficile à acquérir, y compris pour les enfants qui n'ont aucune difficulté par ailleurs, et sa maîtrise est un prédicteur des compétences arithmétiques ultérieures. Les autrices de la batterie Examath 5-8 relèvent en outre que peu d'outils permettent de l'évaluer chez les enfants de cinq à huit ans — c'est-à-dire au moment précis où elle se met en place (Lafay, Betin & Helloin, 2022).

Épreuve 1 — Dizaines et unités

Épreuve 2 — Valeur du chiffre

Épreuve 3 — Décomposition

Les compléments à dix

Ce que dit la recherche

Osana et Barilaro (in Lafay & Villain, 2024, chap. 2) rappellent que la compréhension du principe de position prédit les résultats ultérieurs en arithmétique et en résolution de problèmes (Chan et coll., 2014 ; Ho & Cheng, 1997 ; Mix et coll., 2023). C'est l'un des concepts les plus difficiles de l'école primaire, et sa maîtrise prend des années (Cheung & Ansari, 2021).

• Dans une tâche de représentation, les enfants en difficulté en mathématiques regroupent moins par dizaines (32 blocs pour représenter 32) et comprennent moins bien la valeur positionnelle : ils juxtaposent trois blocs et deux blocs pour 32 (Lafay et coll., 2023).
• Les mesures directes de la valeur positionnelle posent un problème de validité : les enfants mémorisent souvent des procédures, par exemple nommer une quantité à partir de blocs de dix, surtout lorsque la représentation est canonique, c'est-à-dire déjà regroupée (Chan et coll., 2014).
• La numération décimale repose sur des relations multiplicatives entre unités consécutives. La conception « dix pour un » (Fuson, 1990) consiste à tenir dix unités pour équivalentes à une unité de rang supérieur. Coordonner ces unités de façon flexible soutient l'addition et la soustraction à plusieurs chiffres.
• Des élèves de 3e année primaire échouent à « Combien de centaines y a-t-il dans 60 dizaines ? » et à « Combien de dizaines y a-t-il dans 764 ? » (Tempier, 2013). En 1re année, composer une dizaine à partir de dix unités est plus facile que décomposer une dizaine en dix unités (Osana et coll., 2024).
• Fuson (1998) décrit quatre conceptions successives d'un nombre à deux chiffres : une collection de uns ; un groupe de dizaines et de uns ; un comptage par dizaines et par uns (10, 20, 30, 40, 41…) ; enfin des unités de types différents, dizaines et uns. La conception des « chiffres uniques concaténés », où les chiffres sont juxtaposés sans que leur position corresponde à des unités de tailles différentes, mène à des algorithmes erronés (Brown & VanLehn, 1982).
• Chez des enfants de 5 ans, la lecture de nombres arabes est meilleure chez ceux qui représentent un nombre avec des barres de dix et des blocs de un (88 % de réussite) que chez ceux qui n'utilisent que des blocs de un (63 %), ou dont la représentation est incorrecte (moins de 30 %) (Noël, in Lafay & Villain, 2024, chap. 3).