Le test

Ce que le test évalue

Évaluer une difficulté, c'est faire un constat ; évaluer un trouble, c'est chercher ce qui est à l'origine de ce constat. Évaluer une difficulté d'apprentissage revient à dresser l'état des lieux d'une performance : où l'enfant en est dans ce que l'école lui a enseigné. Évaluer un trouble, c'est aller plus loin et chercher les raisons (sinon les causes) de cette difficulté, du côté des compétences sous-jacentes — les mécanismes cognitifs sur lesquels ces performances reposent. La distinction entre les deux commande le type d'aide à mettre en place.

MathEval évalue les secondes. Il ne situe pas l'enfant dans le programme scolaire ; il cherche lequel des mécanismes du nombre ne fonctionne pas.

Cette page décrit le test dans son entièreté, épreuve par épreuve. Chaque domaine a par ailleurs sa page de détail :

1. Chaîne numérique

Ce que l'enfant sait faire de la suite des nombres : pas seulement la réciter, mais s'y déplacer. Le domaine a deux volets — réciter, et manipuler —, répartis en cinq épreuves ; ce sont eux qui donnent les scores. Par-dessus vient une échelle de cinq stades, qui relit ces mêmes réussites sans rien y ajouter.

1.1. Les deux volets, et les cinq épreuves

Les cinq épreuves se suivent dans cet ordre, et chacune n'est proposée que si la précédente a montré qu'elle avait un sens.

Volet	Épreuve	Ce qu'on demande	Ce qui est noté
Réciter	1. Comptine	« Jusqu'où sais-tu compter ? »	Le nombre atteint, et la nature de l'arrêt — une rupture à une dizaine entière ne vaut pas un arrêt net au milieu d'une série. En dessous de 6, le domaine s'arrête là.
Manipuler	2. Compter entre deux bornes	« Compte depuis 7 jusqu'à 13 ». En cas d'échec, les deux moitiés séparément : jusqu'à une borne, puis à partir d'une borne	Laquelle des deux bornes bloque — ce ne sont pas les mêmes difficultés. Un seul détour est autorisé
	3. Compter par bonds	De 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10. Les trois paliers sont toujours posés	Jusqu'où va chaque pas. Épreuve non proposée si la comptine s'arrête avant 15 ; le rapport le dit, au lieu de laisser croire à un échec
	4. Compter à rebours	Compter en arrière depuis 9, puis depuis 16	L'endroit où l'enfant s'arrête. Un échec depuis 9 ferme l'épreuve
	5. Suivant et précédent (ajoutée)	« Quel nombre vient juste après 7 ? », puis « juste avant ? ». Quatre échelons, de plus en plus loin dans la chaîne	Jusqu'où va l'accès immédiat, dans chaque sens séparément

Réciter n'est pas manipuler, et c'est tout l'enjeu du domaine : la récitation seule corrèle à ,535 avec le score total du test, les manipulations à ,78. C'est la raison pour laquelle le rapport en garde deux scores distincts (voir 1.3), et la raison pour laquelle faire répéter la comptine à un enfant en difficulté ne le fera pas progresser en calcul. Le détail de chaque épreuve, et les données qui fondent cette distinction.

1.2. Les cinq stades, et où chacun se mesure

L'échelle vient de Fuson, Richards et Briars (1982). Elle décrit des degrés de maîtrise de la suite des nombres, pas des épreuves : elle se présente comme un continuum unique, mais elle se lit à trois endroits différents du test, dont deux hors de ce domaine. Le passage d'un stade au suivant étant progressif, le rapport reste nuancé sur le degré atteint.

Stade	À quoi on le reconnaît	Ce qui le décide, dans quelle épreuve
1 — chapelet	La suite est récitée d'un bloc, sans que les mots-nombres soient détachés les uns des autres	La comptine. Un enfant qui ne récite pas au-delà de cinq est situé là, et le domaine s'arrête : la comptine est trop peu assurée pour qu'on puisse lui demander de compter jusqu'à une borne
2 — chaîne insécable	Les mots-nombres sont distincts, mais le comptage doit toujours commencer à un. L'enfant compte jusqu'à une borne, jamais à partir d'une autre	Le comptage entre deux bornes, dans son détour en deux moitiés : « jusqu'à une borne » réussi, « à partir d'une borne » échoué
3 — chaîne sécable	L'enfant compte à partir d'un autre nombre que un, et entre deux bornes	Le comptage entre deux bornes, réussi — « compte de 4 à 9 »
4 — chaîne dénombrable	Chaque mot-nombre évoque aussi son cardinal : il devient lui-même comptable, ce qui rend le surcomptage possible	Le calcul mental, et non une épreuve de comptage : les additions quand le surcomptage apparaît, les soustractions au franchissement de la dizaine
5 — chaîne bi-directionnelle	Parcours rapide et flexible dans les deux sens, à partir de n'importe quel point	Aucune épreuve

Les couleurs sont celles du tableau précédent : le stade 1 se lit dans la récitation, les stades 2 et 3 dans les manipulations. Les deux derniers sont en gris parce qu'ils ne se décident pas dans ce domaine.

Le rapport ne se limite pas à ces cinq verdicts francs : quand les deux moitiés du comptage entre bornes se dissocient, il situe l'enfant entre deux stades — par exemple « entre le stade 2 et le stade 3 » quand chaque borne est réussie séparément mais pas le trajet complet.

Trois de ces stades demandent une précision, et c'est là que se joue la lecture du rapport :

• Stade 3 — il se décide au comptage entre deux bornes, et rien d'autre ne le décide. Les trois autres manipulations viennent ensuite le nuancer, sans jamais pouvoir le fonder ni le remplacer : le comptage par bonds et le comptage à rebours réussis le renforcent ; « suivant et précédent » réussi dans les deux sens le renforce aussi, réussi dans un seul sens indique un stade atteint dans une seule direction — ce qui pèse sur la soustraction —, et échoué dans les deux fait dire que le stade 3 reste fragile.
• Stade 4 — il se mesure au calcul mental parce qu'on ne le voit pas en faisant réciter un enfant : aux additions, quand le surcomptage apparaît, et aux soustractions, quand l'enfant franchit la dizaine à rebours. Si le calcul a eu lieu sans montrer ni l'un ni l'autre, le rapport écrit que le stade 4 n'est pas attesté — plutôt que de laisser croire que l'enfant plafonne au stade 3. Ce qu'est le surcomptage, et comment il se voit : sur la page Chaîne numérique, au stade 4.
• Stade 5 — aucune épreuve ne le mesure, faute de critère opérationnel : il demande une bidirectionnalité rapide et flexible, et non un fait isolé, et il dépend aussi d'aptitudes transversales (logique, mémoire de travail) et du cursus scolaire. Le rapport l'écrit en toutes lettres plutôt que de laisser un blanc. À ma connaissance, aucun test standardisé n'en donne de score, et ce stade n'a jamais été opérationnalisé au sein d'un test — ce que font les autres tests.

1.3. Ce qui est chiffré

Le domaine produit quatre lignes dans le rapport, dont deux seulement sont comparées à des normes :

Ligne du rapport	Ce qu'elle additionne	Normée ?
Comptine simple	La récitation seule	Oui
Manipulation de la chaîne numérique	Les trois épreuves de comptage qui suivent : entre bornes, par bonds, à rebours	Oui
Suivant et précédent	Deux nombres, imprimés en clair : « réussi jusque 13 (suivant) et 9 (précédent) »	Non — résultats bruts
Chaîne numérique — score étendu	La manipulation plus les paliers réussis de « suivant et précédent », qui relève du même sous-test	Non — résultats bruts

2. Quantification

2.1. Dénombrement — les principes de Gelman et Gallistel (1978)

Chaque principe se mesure à un endroit précis, et deux d'entre eux ne s'observent qu'en cas d'échec du dénombrement direct :

Principe	Où il se mesure	En production ou en détection
Correspondance terme à terme	Dénombrement des neuf ronds, par le diagnostic qui suit un échec	Production seulement
Ordre stable	Dénombrement des neuf ronds ; puis, si ce dénombrement a échoué, une épreuve séparée où l'enfant juge le comptage de quelqu'un d'autre. Il peut y réussir : le test enregistre alors le principe comme acquis en compréhension	Production, puis détection
Principe cardinal	Dénombrement des neuf ronds ; puis, s'il n'est pas déjà acquis, une épreuve sur une collection plus petite	Production
Non-pertinence de l'ordre	Épreuve séparée, où convergent les deux chemins possibles	Détection seulement
Abstraction	—	(non évalué) — on ne parvient pas à l'opérationnaliser : une épreuve « pure » d'abstraction est impossible, et les échecs observés tiennent à autre chose ; par ailleurs cette capacité, indispensable à la survie, est présente très tôt, comme le montrent les travaux sur le nourrisson

Deux collections successives : neuf ronds d'abord, puis dix-neuf en 3^e maternelle et en 1^re primaire, treize en 2^e primaire — où les dix-neuf ronds ouvrent le domaine.

2.2. Subitizing — deux épreuves : aléatoire, puis de patterns

• Subitizing aléatoire — des points disposés au hasard. Le subitizing perceptif de Clements
• Subitizing de patterns — des doigts levés. Le subitizing conceptuel, ou spatial, du même auteur

Le subitizing est l'épreuve la plus prédictive du test : r = ,63 avec le niveau de calcul mental deux ans plus tard — l'écart avec les épreuves qui suivent est toutefois trop petit pour être tenu pour sûr avec 59 enfants, voir les réserves sur la page Analyses statistiques. Le dénombrement, à l'inverse, ne corrèle avec rien d'autre — c'est ce qui oblige à le regarder pour lui-même.

3. Sens des nombres

L'accès à la grandeur elle-même — le code analogique du triple code de Dehaene.

• Comparaison de deux nombres — lequel est le plus grand
• Positionnement sur la ligne numérique — coté en précision : c'est la distance au point exact qui porte l'information, pas le juste ou faux. Un enfant peut réussir la comparaison et échouer largement la ligne : il ordonne les nombres sans se représenter les écarts entre eux.

4. Calcul mental

4.1. Les quatre niveaux de représentation

On commence par des opérations mentales abstraites ; si l'enfant échoue, la même opération est reposée sous forme semi-concrète, puis de manière concrète, et enfin, pour les enfants les plus en difficulté, sous forme protonumérique.

1. Abstrait — l'opération seule, énoncée en nombres
2. Semi-concret — l'opération est racontée avec des objets que l'enfant doit se représenter : « Suppose qu'il y a 2 bonbons dans une boîte. Si on ajoute 1 bonbon, combien cela fait-il en tout ? » Rien n'est montré : l'énoncé parle d'objets, mais c'est à l'enfant de les imaginer
3. Concret — les objets sont là, sur la scène, et l'enfant les voit
4. Protonumérique — l'opération est en quelque sorte jouée sous ses yeux

4.2. Les opérations posées

Les paliers sont au nombre de quatre — jusque 5, jusque 20, deux chiffres, trois et quatre chiffres —, mais la difficulté ne vient pas du fait que l'on va jusque 20 : elle vient du passage par la dizaine. Le palier « jusque 20 » contient trois sortes de calculs, et c'est leur différence qui porte l'information :

Ce qui est demandé	Exemples du test	Ce que la réussite indique
Somme ne dépassant pas dix	3+6, 5+3, 2+7	Le calcul dans la première dizaine
Passage par la dizaine	8+7, 9+3, 7+6	La compétence charnière du palier
Au-delà de dix, mais sans passage	11+4, 11+2	Le calcul se poursuit après dix

Le passage par la dizaine se cote en outre selon le procédé employé, et non seulement en réussi ou échoué : un algorithme correct et généralisable (8+2+5), un procédé correct mais non généralisable (8+8−1), ou le surcomptage. Trois enfants peuvent trouver quinze sans avoir fait la même chose.

Soustractions — même principe : 12−4, 14−6 et 15−7 franchissent la dizaine à rebours, tandis que 17−4, 18−6 et 19−7 restent au-dessus d'elle.

Ce que ce domaine mesure en plus du calcul. Les additions et les soustractions sont aussi l'endroit du test où se lit le stade 4 de la chaîne numérique : le surcomptage et le franchissement de la dizaine y sont observés au passage, sans épreuve supplémentaire.

4.3. Une épreuve posée ici, mais qui n'appartient pas à ce domaine

Les compléments à dix sont posés pendant le calcul mental, après les additions et les soustractions, mais ils relèvent de la numération décimale (section 6.4) : l'enfant n'y effectue pas une opération sur deux quantités, il restitue une décomposition de dix — un fait numérique, pas une procédure de calcul.

5. Transcodage

Le passage d'un code à l'autre, sans opération.

• Écriture des nombres — sous dictée
• Lecture des nombres — à voix haute, à partir du code arabe

6. Numération décimale — domaine ajouté

Ce que l'enfant comprend de la construction du nombre écrit. Les trois épreuves s'enchaînent, et chacune est donnée ici avec un exemple réel du test.

6.1. Dizaines et unités

« Voici le nombre 47. Montre-moi le dessin qui lui correspond. » L'enfant choisit entre des collections dessinées — des paquets de dix et des unités isolées —, et le distracteur est l'inverse : quatre paquets et sept unités contre sept paquets et quatre unités. Le mot « dizaine » n'est pas prononcé : il est réservé à la troisième épreuve, où c'est justement lui qu'on teste.

6.2. Valeur du chiffre — avec choix multiple en cas d'échec

Un cadre et une flèche désignent un chiffre dans le nombre écrit, puis : « Dans ce nombre, ce chiffre-là, il vaut combien ? » Pour le 4 de 45, la réponse attendue est quarante, pas quatre — la valeur, pas le chiffre.

En cas d'échec, la question est reposée en choix entre plusieurs propositions, sur un autre nombre, et reconnaître la valeur vaut moins que la produire — le rapport ne confond pas les deux. Les propositions, le choix du nombre de remplacement et la cotation sont décrits sur la page Numération décimale.

6.3. Décomposition — avec reformulations en cas d'échec

« 47, c'est combien de dizaines et combien d'unités ? » La question d'ensemble d'abord, puis rang par rang, une à la fois : « Combien de dizaines ? », « Et combien d'unités ? » À trois chiffres : « 236, c'est combien de centaines, combien de dizaines et combien d'unités ? »

En cas d'échec, c'est la même compétence qui est redemandée, dans d'autres mots. D'abord le vocabulaire courant : « 47, c'est combien de paquets de dix, et combien tout seuls ? » Puis la forme additive : « 47, c'est 40 plus combien ? » En dernier recours, la question se pose du doigt sur le papier.

L'enfant produit toujours sa réponse ; ce qui change est le vocabulaire de la question. Le premier essai met donc aussi les mots à l'épreuve, et ces reformulations séparent ce que l'enfant ne comprend pas de ce qu'il ne sait pas nommer.

6.4. Compléments à dix — épreuve ajoutée

« Combien faut-il ajouter à 7 pour arriver à 10 ? » Quatre items au plus, posés pendant le calcul mental mais rattachés à ce domaine-ci, et non au calcul mental : l'enfant n'y opère pas sur deux quantités, il restitue une décomposition de dix — un fait numérique, pas une procédure de calcul. Ce fait porte sur dix, la base de la numération de position : c'est pourquoi l'épreuve est rangée ici. Non posés si l'enfant a déjà montré, aux additions, qu'il décompose pour franchir la dizaine — le rapport note alors l'acquis comme déduit. Le détail est sur la page Numération décimale.

C'est le seul test du marché à demander à l'enfant de produire la valeur d'un chiffre plutôt que de la reconnaître parmi des propositions.

Récapitulatif : les compétences qui ne se mesurent pas là où on les cherche

Six cas dans tout le test. Les rassembler évite d'avoir à parcourir la page pour les retrouver.

Compétence	On la cherche dans	Elle se mesure	À quoi on la reconnaît
Chaîne dénombrable (stade 4)	Chaîne numérique	Calcul mental	Surcomptage aux additions, franchissement de la dizaine aux soustractions
Chaîne sécable (stade 3), sa consolidation	Récitation de la comptine	Comptage entre bornes, puis bonds, rebours, suivant/précédent	Compter de 4 à 9 ; puis dire le voisin sans repartir de un
Ordre stable, en détection	Dénombrement	Épreuve séparée, proposée seulement quand le dénombrement des neuf ronds a échoué	L'enfant juge le comptage de quelqu'un d'autre — et il peut y réussir alors qu'il vient d'échouer : il ne sait pas appliquer le principe, mais il le reconnaît
Non-pertinence de l'ordre	Dénombrement	Épreuve séparée	Détection seulement, jamais en production
Décomposition pour franchir la dizaine	Compléments à dix	Additions jusque 20	L'épreuve de compléments n'est alors pas posée, et l'acquis est noté « déduit »
Chaîne bi-directionnelle (stade 5)	Chaîne numérique	Nulle part	Aucun critère opérationnel disponible

L'ordre réel de passation

Ce qui précède regroupe par domaine. Pendant la passation, l'enchaînement est celui-ci :

Chaîne numérique (comptine → entre bornes → comptages par bonds → rebours → suivant et précédent) → Quantification (dénombrement de 9 ronds → dénombrement de 13 ou 19 → ordre stable → non-pertinence de l'ordre → principe cardinal → subitizing aléatoire → subitizing de patterns) → Sens des nombres (comparaison → ligne) → Calcul mental (additions, puis leurs niveaux plus concrets → soustractions, de même → compléments à dix) → Transcodage (écriture sous dictée → lecture) → Numération décimale (dizaines et unités → valeur du chiffre → décomposition).

La numération décimale vient bien après le transcodage, et non l'inverse : il faut savoir lire un nombre écrit avant de pouvoir être interrogé sur la façon dont il est construit.

Rien de tout cela n'est posé systématiquement : à chaque item, l'arbre de décision choisit le suivant, et une épreuve dont les prérequis ne sont pas installés n'est pas proposée.

C'est aussi ce qui explique la plupart des cas du tableau ci-dessus. Le test est adaptatif, donc il n'ouvre une épreuve que si elle apprend quelque chose. Une compétence déjà observée au passage n'est pas re-testée, et une compétence dont les prérequis manquent n'est pas abordée. Le rapport comble la différence : il dit à chaque fois selon quelle règle l'épreuve a été écartée, de façon qu'une case vide ne se lise jamais comme un échec.

Les chemins que suit l'arbre de décision sont dessinés en entier sur la page des organigrammes du test.

Les épreuves ajoutées après l'étalonnage

Cinq épreuves ont été ajoutées au test après la campagne d'étalonnage : suivant et précédent (chaîne numérique), les compléments à dix et les trois épreuves de numération décimale. Elles n'ont donc pas de normes, et leurs scores sont donnés en résultats bruts, sans comparaison avec un groupe de référence.

Ces cinq épreuves font néanmoins partie du test proposé, et non d'une variante à choisir. C'est le seul moyen de les étalonner un jour : des épreuves qu'on ne fait passer à personne ne produisent aucune donnée. Le rapport signale lesquelles n'ont pas de groupe de référence, de sorte qu'un score brut ne soit jamais lu comme un résultat situé.

Ce qui n'est pas évalué

Les gnosies digitales. Le test commençait autrefois par une épreuve de gnosies digitales — la connaissance et la reconnaissance de ses propres doigts. Elle était déjà facultative, et elle n'est plus proposée dans la version en ligne : sa valeur prédictive est contestée par la recherche. La page est conservée, parce qu'une épreuve abandonnée en cours de route fait partie de l'histoire d'un test.

L'estimation globale. Troisième procédure de quantification avec le subitizing et le dénombrement, elle n'est pas investiguée dans MathEval.

Le calcul écrit et la résolution de problèmes verbaux ne sont pas couverts, alors qu'ils comptent. C'est une limite assumée, décrite avec les autres sur la page Portée et limites.