Le domaine Quantification

En une phrase : comment l'enfant passe d'une collection d'objets à une quantité — en comptant (le dénombrement), ou d'un coup d'œil (le subitizing).

Les procédures de quantification permettent de déterminer la numérosité de collections d'éléments. Elles sont au nombre de trois : le subitizing, le dénombrement et l'estimation globale (non encore investiguée dans MathEval). Cette page traite du dénombrement, puis du subitizing — dans l'ordre où le test les propose.

Deux résultats qui orientent la lecture de ce domaine

Les analyses menées sur les données de MathEval font ressortir deux choses inattendues, et elles expliquent pourquoi ce domaine est traité avec autant de soin.

Le subitizing est le meilleur signe précoce dont dispose le test. En suivant les mêmes enfants de la 3^e maternelle à la 2^e primaire, c'est l'épreuve de maternelle qui annonce le mieux le niveau de calcul mental deux ans plus tard — r = ,63, devant le score total du test lui-même (,61), les additions (,49) et le sens des nombres (,47). Une capacité qui paraît anecdotique — voir d'un coup qu'il y a trois objets — se révèle le meilleur prédicteur de la liste. L'écart avec les épreuves qui suivent est toutefois trop petit pour être tenu pour sûr avec 59 enfants — voir les réserves sur la page Analyses statistiques.

Le dénombrement, lui, ne ressemble à rien d'autre. C'est le seul sous-test qui ne corrèle avec aucun des autres : ,18 avec la comptine, ,18 avec les additions, ,04 avec l'écriture des nombres, −,02 avec les soustractions. Sa corrélation moyenne avec le reste de la batterie est de ,16, et il ne suit pas le facteur général que partagent tous les autres sous-tests. Le constat s'est répété sur quatre jeux de données différents.

Un sous-test qui ne corrèle avec rien n'est pas un sous-test raté : c'est un sous-test qui mesure autre chose. Concrètement, un enfant peut très bien dénombrer correctement et être en difficulté partout ailleurs — ou l'inverse. Le résultat au dénombrement ne se déduit donc pas du reste du profil, et c'est précisément ce qui lui donne sa valeur : il faut le regarder pour lui-même.

Le détail de ces analyses est sur les pages Corrélations 2011 et Suivi longitudinal.

Le dénombrement

Dénombrer, c'est mettre en correspondance terme à terme les éléments de la suite conventionnelle des noms des nombres avec les éléments d'une collection, de manière à déterminer le cardinal de cette dernière. Le dénombrement repose donc sur la coordination et la maîtrise, au moins partielle, de deux activités : l'énonciation de la suite conventionnelle des nombres, et l'activité de pointage des éléments à dénombrer.

Selon Gelman et Gallistel (1978), un comptage correct repose sur la maîtrise et la coordination de 5 principes :

Principe de correspondance terme à terme — un seul mot-nombre est associé à chaque élément appartenant à l'ensemble à dénombrer.
Principe d'ordre stable — les mots-nombres servant à dénombrer les éléments d'une collection sont toujours énoncés selon une séquence stable. Pour que ce principe soit considéré comme acquis, il n'est pas nécessaire que la suite soit conventionnelle ; si un enfant utilise une séquence non conventionnelle, il faut lui demander de recompter pour s'assurer du caractère stable de la séquence.
Principe cardinal — l'enfant prend conscience du fait que le dernier mot-nombre énoncé lors d'un comptage correspond au nombre total d'éléments de l'ensemble dénombré. Si l'on arrête l'enfant en cours de comptage en lui demandant combien d'objets il a comptés jusqu'à présent, il cite simplement le dernier mot-nombre énoncé.
Principe de non-pertinence (ou d'indifférence) de l'ordre — l'ordre dans lequel les éléments sont dénombrés n'affecte pas le cardinal d'une collection, tant que les autres principes sont respectés.
Principe d'abstraction — l'hétérogénéité (vs l'homogénéité) des éléments n'a pas d'impact sur leur dénombrement. Les éléments à dénombrer, indépendamment de leurs qualités sensibles, sont considérés en tant qu'unités distinctes, dénombrables.

Ce dernier principe, l'abstraction, n'est pas évalué dans MathEval. Comme le souligne Catherine Van Nieuwenhoven (manuel du Tedi-Math, p. 19), son évaluation est difficile — les échecs enregistrés dans les épreuves habituelles sont le plus souvent liés soit à une incompréhension partielle des attentes de l'expérimentateur, soit à une insuffisance dans d'autres prérequis, soit les deux. Les études sur les bébés (Feigenson, Dehaene & Spelke, 2004 ; Wynn, 1998) plaident d'ailleurs en faveur d'une capacité d'abstraction innée, présente dès la petite enfance.

Une digression sur l'abstraction : le piège des « carrés »

On peut s'interroger sur l'utilité des épreuves qui consistent à demander à l'enfant de dénombrer des ensembles composés de lapins et de crocodiles, la capacité d'abstraction étant considérée comme acquise si l'enfant additionne les deux pour obtenir le nombre d'animaux. A-t-on jamais rencontré un enfant incapable d'une telle abstraction ? A-t-on, en fait, bien évalué ainsi la capacité d'abstraction ?

Pour s'en convaincre, examinez ces dessins et répondez : « Tu vois les dessins ci-dessous ? Dis-moi d'abord combien il y en a. »

La réponse la plus naturelle est généralement « 4 » (les 4 grands carrés). Mais si l'on insiste sur les plus petits carrés inclus dans les grands, le compte grimpe à 4 + 4×25 = 29. En réalité, en comptant méthodiquement tous les carrés de toutes tailles, on en trouve... 220 — (5² + 4² + 3² + 2² + 1) × 4.

Cette question, en apparence toute simple, « combien y en a-t-il ? » est susceptible d'engendrer une multitude de réponses correctes selon que l'on considère les segments, les droites, les angles droits, les surfaces, le nombre de couleurs utilisées, etc. L'abstraction ultime ne consiste-t-elle pas à additionner tous ces éléments en apparence disparates, mais qui n'en sont pas moins des « unités dénombrables » ? Pour ces raisons, le principe d'abstraction n'est pas évalué dans MathEval.

Le sous-test de dénombrement, et ses quatre stades

Le sous-test consiste à dénombrer une collection : neuf ronds d'abord, puis dix-neuf (treize en 2^e primaire, où les dix-neuf ronds ouvrent le domaine : les dénombrer d'emblée dispense de tout le reste). C'est dans ce dénombrement — une tâche de production — que sont d'abord observés les quatre stades de Gelman et Gallistel, d'après la manière dont l'enfant s'y prend : la correspondance terme à terme, l'ordre stable, le principe cardinal et la non-pertinence de l'ordre. Trois d'entre eux ont en plus une épreuve propre : l'ordre stable, en détection, seulement si le dénombrement a échoué ; le principe cardinal, toujours en production, sur une collection plus petite (cinq ronds), seulement si l'enfant n'a pas énoncé le total des neuf ronds, spontanément ou quand on le lui a demandé ; la non-pertinence de l'ordre, en détection, pour tout le monde. La correspondance terme à terme n'a pas d'épreuve propre : elle ne se juge qu'en production. Le subitizing est un autre sous-test ; il vient après et il est décrit plus bas.

Le dénombrement d'une collection

L'enfant compte une collection de ronds — neuf d'abord, puis dix-neuf (treize en 2^e primaire, où l'on commence par dix-neuf). On observe autant sa réponse que sa manière de faire : pointe-t-il chaque élément une fois et une seule, sa suite de mots-nombres est-elle stable, donne-t-il le dernier mot comme total ?

Pourquoi cette épreuve. C'est la seule qui mette les quatre principes à l'épreuve en même temps, dans une tâche que l'enfant reconnaît. Une erreur de comptage n'a pas la même signification selon le principe qui a lâché : sauter un élément, se tromper de suite, ou recompter quand on lui demande le total sont trois difficultés différentes, et trois remédiations différentes. Les épreuves qui suivent servent à identifier laquelle.

C'est aussi l'épreuve dont le résultat ne se déduit d'aucun autre (voir plus haut) : la sauter au motif que l'enfant réussit ailleurs reviendrait à perdre une information que rien d'autre ne donne.

L'ordre stable

Le principe est d'abord jugé en production, sur la manière dont l'enfant a dénombré les neuf ronds. Cette épreuve-ci n'est proposée que si ce dénombrement a échoué, et elle est en détection : c'est l'examinateur qui compte les ronds à voix haute, dans l'ordre indiqué à l'écran — un ordre parfois volontairement faux —, et l'enfant dit s'il a compté correctement ou s'il a fait une erreur quelque part, et laquelle. Le rapport distingue les deux : « ordre stable (en production) » et « ordre stable (en détection) ».

Pourquoi passer par le jugement plutôt que par la production. Un enfant peut échouer à compter pour des raisons qui n'ont rien à voir avec le principe testé — distraction, geste maladroit, comptine incomplète. Lui demander de juger le comptage d'un autre retire la charge de l'exécution et ne laisse que la question : cette suite est-elle la bonne ? Réussir ici après avoir échoué en production est une information à part entière : l'enfant sait, mais ne parvient pas encore à faire.

Le principe cardinal

Également proposée après un échec, sur une collection plus petite. La question est simple : après avoir compté, l'enfant sait-il combien il y en a — ou faut-il qu'il recompte ?

Pourquoi cette épreuve. C'est le point de bascule entre compter et dénombrer. Tant que le dernier mot-nombre n'est qu'un mot de plus dans la série, l'enfant compte sans obtenir de quantité — et il recomptera à chaque fois qu'on lui posera la question. Ce principe conditionne tout ce qui suit : on ne peut pas comparer, ajouter ou retrancher des quantités qu'on ne sait pas nommer.

La non-pertinence de l'ordre

Toujours en jugement : on compte une même collection dans un ordre, puis dans un autre, et l'on demande à l'enfant si le résultat change.

Pourquoi cette épreuve. Elle porte sur ce que l'enfant comprend du comptage, pas sur ce qu'il sait en faire. Croire que le total dépend de l'ordre dans lequel on pointe, c'est traiter le comptage comme un rituel dont il faut respecter la forme, et non comme une opération qui donne une propriété de la collection. C'est une conception que le comptage réussi ne révèle pas — d'où le passage par le jugement.

Le subitizing

Processus qui permet de déterminer d'une manière rapide, globale et précise la numérosité de petites collections d'éléments sans avoir recours au dénombrement. Ce processus se distingue clairement :

du dénombrement, processus relativement lent mais qui débouche sur la numérosité exacte d'une collection d'éléments ;
de l'estimation globale, processus rapide mais qui conduit à une quantification approximative ; il n'intervient que lorsque le nombre d'éléments est très grand et/ou le temps disponible est très réduit — c'est ce procédé qui est, par ex., à la base des chiffres avancés concernant le nombre de personnes présentes lors d'une manifestation.

On distingue deux types de subitizing. Douglas Clements (1999) les a nommés subitizing perceptif et subitizing conceptuel, d'après le processus qu'il suppose à l'œuvre. Je préfère ici deux termes qui décrivent ce que l'enfant a sous les yeux :

le subitizing aléatoire — le subitizing perceptif de Clements. Il correspond à la définition princeps, parce qu'il ne fait appel à aucune connaissance préalable. Il est évalué au sein du test en demandant à l'enfant de quantifier des collections de points disposés de manière quelconque.
le subitizing de patterns — le subitizing conceptuel, ou spatial, de Clements. Il fait appel à la reconnaissance de patterns (schèmes). Ce type de subitizing, qui se développe progressivement à partir du subitizing aléatoire grâce à l'expérience et l'entraînement, constitue sans doute l'une des aptitudes à la base du sens du nombre cardinal et de la construction des habiletés arithmétiques (cf. la « collection-témoin » de Rémi Brissiaud). Il est évalué à l'aide de collections-témoin de doigts, présentées sous forme de dessins.

Pourquoi ces deux mots-là. Un pattern est une configuration qu'on a l'habitude de voir ; une distribution aléatoire n'en est pas une. Sept doigts levés se montrent presque toujours de la même façon — une main entière, plus deux doigts de l'autre, souvent le pouce et l'index. Reconnaître sept doigts est donc plus facile que reconnaître sept points jetés au hasard. Ce n'est pas exactement la même compétence qui est évaluée.

Clements, D. H. (1999). Subitizing: What is it? Why teach it? Teaching Children Mathematics, 5(7), 400-405.

Les deux épreuves de subitizing : aléatoire, puis de patterns

Subitizing aléatoire — des points (le subitizing perceptif de Clements). Des collections de points, disposées sans ordre particulier, apparaissent brièvement. L'enfant dit combien il en voit, sans avoir le temps de compter.

Subitizing de patterns — des doigts (le subitizing conceptuel, ou spatial, de Clements). La même tâche, avec des configurations de doigts levés — des collections-témoins que l'enfant a déjà rencontrées.

Pourquoi les deux épreuves. Elles séparent ce qui est immédiat de ce qui a été appris. Le subitizing aléatoire ne demande aucune connaissance préalable ; le subitizing de patterns s'appuie sur des configurations familières, et c'est celui qui se construit par l'expérience. Un enfant qui réussit les doigts mais pas les points quelconques a mémorisé des images ; l'inverse signale une perception intacte que l'école n'a pas encore outillée.

C'est aussi l'épreuve la plus prédictive du test (voir plus haut) — raison suffisante pour la faire passer même quand tout le reste semble aller bien.

Organigrammes des questions posées

Les organigrammes de ce domaine sont rassemblés sur une seule page, avec ceux de toutes les autres épreuves : les huit organigrammes de la quantification. La même page explique comment les lire.